ในบทความนี้ได้ศึกษาเสถียรภาพและการทำให้เสถียรแบบเลขชี้กำลังของระบบพลวัตเชิงเส้นสลับที่มีตัวหน่วงแปรผันตามเวลา และมีพารามิเตอร์ไม่ทราบค่าที่แปรผันตามเวลา แต่นอร์มของพารามิเตอร์มีขอบเขต โดยใช้ฟังก์ชัน ไลปูนอฟ-คราซอฟกี และ กฎการสลับสำหรับเสถียรภาพและการทำให้เสถียรแบบชี้กำลัง ซึ่งอยู่ในรูปของ ผลเฉลยของสมการริคคาติ ซึ่งเป็นวิธีที่จะทำให้ได้ขอบเขตของผลเฉลยที่มีอัตราการลู่เข้าแบบเลขชี้กำลัง และได้แสดงตัวอย่างสำหรับอธิบายถึงผลที่ได้รับ

          ระบบสลับเป็นระบบที่อธิบายในรูปของสมการอนุพันธ์ที่ประกอบด้วยระบบสมการย่อยๆหลายระบบและมีจำนวนระบบที่จำกัด โดยมีกฎการสลับ (Switching law) ซึ่งจะเป็นตัวกำหนดว่า ระบบใดจะทำงานและระบบใดจะหยุดทำงาน ภายใต้ข้อกำหนดที่ว่า ถ้าระบบหนึ่งทำงานแล้วระบบอื่นๆที่เหลือจะต้องหยุดทำงาน ซึ่งในการศึกษาระบบสลับนั้นมีจุดเด่นที่สำคัญนั่นคือ การหากฎการสลับ เพื่อทำให้ระบบสลับนั้นเสถียร

          ได้ศึกษาเสถียรภาพทนทานแบบเลขชี้กำลัง สำหรับคลาสของระบบสลับเชิงเส้นที่มีตัวหน่วงขึ้น อยู่กับเวลา ซึ่งระบบที่ศึกษาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าแน่นอนและตัวหน่วงแปรผันตามเวลา ได้ศึกษาเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับของระบบสลับที่มีตัวหน่วงเป็นค่าคงที่ ได้ศึกษาเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับของระบบสลับที่มีตัวหน่วงแปรผันตามเวลา และ ได้ศึกษาเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับของระบบสลับไม่ต่อเนื่องที่มีตัวหน่วงแปรผันตามเวลา ในที่นี้ ได้สร้างเงือนไขสำหรับตัวหน่วงที่ขึ้นกับเวลาและในการศึกษาเสถียรภาพแบบเลขชี้กำลัง โดยอาศัยฟังก์ชัน ไลปูนอฟ – คราฟซอฟกี ซึ่งเงือนไข ถูกเสนอในเทอมของผลเฉลยของสมการริคคาติ และได้ออกแบบกฎการสลับ โดยใช้การพิจารณาเรขาคณิต และได้คำนวณขอบเขตของผลเฉลยในเสถียรภาพแบบเลขชี้กำลังที่มีอัตราการลู่เข้า และได้ศึกษาเงื่อนไขสำหรับการทำให้เสถียรสำหรับระบบสลับเชิงเส้นที่มีตัวพารามิเตอร์ไม่ทราบค่าแน่นอน อีกทั้งมีตัวหน่วงที่แปรผันตามเวลา และมีตัวควบคุมด้วย ซึ่งในที่นี้ได้รับเงื่อนไขเพียงพอ สำหรับการทำให้เสถียรของระบบสลับด้วย ได้นำเสนอการออกแบบกฎการสลับ สำหรับเสถียรภาพและการทำให้เสถียรแบบเลขชี้กำลัง ของระบบสลับเชิงเส้นที่มีตัวหน่วงและพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าแน่นอน และได้เงื่อนไขของเสถียรภาพ ซึ่งได้แสดงในเทอมของผลเฉลยของสมการริคคาติ อีกทั้งได้ค่าขอบเขตของผลเฉลยที่มีอัตราการลู่เข้าแบบเลขชี้กำลัง

บทความนี้ได้นำเสนอการออกแบบกฎการสลับ สำหรับเสถียรภาพและการทำให้เสถียรแบบเลขชี้กำลัง ของระบบสลับเชิงเส้นที่มีตัวหน่วงและพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าแน่นอน และได้เงื่อนไขของเสถียรภาพ ซึ่งได้แสดงในเทอมของผลเฉลยของสมการริคคาติ อีกทั้งได้ค่าขอบเขตของผลเฉลยที่มีอัตราการลู่เข้าแบบเลขชี้กำลัง